Volume d'un tétraèdre - Métropole, mars 2023

On considère le cube \(\mathrm{ABCDEFGH}\) d'arête \(1\) .
On appelle \(\text I\) le point d'intersection du plan \(\mathrm{(GBD)}\) avec la droite \(\mathrm{(EC)}\) .
L'espace est rapporté au repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)\) .

1. Donner dans ce repère les coordonnées des points \(\text E\) , \(\text C\) , \(\text G\) .

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathrm{(EC)}\) .

3. Démontrer que la droite  \(\mathrm{(EC)}\) est orthogonale au plan \(\mathrm{(GBD)}\) .

4. a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan \(\mathrm{(GBD)}\) est  \(x + y - z - 1 = 0\) .
    b. Montrer que le point \(\text I\) a pour coordonnées  \(\left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right)\) .
    c. En déduire que la distance du point \(\text E\) au plan  \(\mathrm{(GBD)}\) est égale à  \(\dfrac{2\sqrt 3}{3}\) .

5. a. Démontrer que le triangle \(\mathrm{BDG}\) est équilatéral.
    b. Calculer l’aire du triangle \(\mathrm{BDG}\) . On pourra utiliser le point \(\text J\) , milieu du segment \(\mathrm{[BD]}\) .

6. Justifier que le volume du tétraèdre \(​​\mathrm{EGBD}​​\) est égal à  \(\dfrac13\) .
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par \(V = \dfrac13 Bh\) où \(B\) est l'aire d'une base du tétraèdre et \(h\) est la hauteur relative à cette base.